Родился 12 июня 1954 года, в городе Ткварчели Абхазской АССР.

В 1972 году окончил Ткварчельскую среднюю школу.

1973 - 1975 гг. – проходил срочную службу в Группе советских войск в Германии.

1976 - 1978 гг. – курсант Калининградской специальной средней школы милиции МВД СССР.

В 1988 году закончил Московскую школу милиции МВД СССР.

С 1978 года по 1992 год работал на различных должностях в системе МВД Абхазии. Подполковник милиции в запасе.

Участник отечественной войны народа Абхазии 1992-1993 гг.

Указом Президента Республики Абхазия от 3 октября 2018 года №294 наражден медалью «За отвагу».

С 2013 года работал старшим исполнителем Ткуарчалского районного суда.

С 2016 года по настоящее время состоит на должности помощника председателя Ткуарчалского районного суда.

12 октября 2022 года Решением Квалификационной коллегией судей Республики Абхазия присвоен классный чин «юрист первого класса».

Указом Президента Республики Абхазия от 24 сентября 2018 года, № 270 Аргун А. Б. награжден медалью «За Победу».