Родился 29 февраля 1956 года в пос. Новый Афон Гудаутского района Абхазской АССР.

После получения среднего общего образования начал работать рабочим Новоафонского цитрусового совхоза «Псырцха».

После прохождения военной службы в рядах Советской Армии Аргун Б. З. трудоустроился в паспортном столе Гудаутского ОВД Абхазской АССР.

В 1979 году Аргун Б. З. поступил на историко-юридический факультет Абхазского государственного университета, специальность «правоведение», который окончил в 1984 году с присвоением квалификации «юрист».

После получения высшего образования Аргун Б. З. начал свою трудовую деятельность в Абхазском областном совете профсоюзов, где занимал различные должности.

14 июля 1991 г. Аргун Б. З. был назначен административным судьей Гудаутского районного суда.

21 февраля 1994 года Аргун Б. З. был назначен судьей Гудаутского районного суда сроком на пять лет.

С 1994 года неоднократно переизбирался судьей Гудаутского районного суда Республики Абхазия, а также исполнял обязанности Председателя Гудаутского районного суда.

26 июня 2015 года решением Квалификационной коллегии судей Республики Абхазия Аргун Б .З. присвоен второй квалификационный класс судьи.

Аргун Б. З. в октябре 2017 года прошел обучение в ФГБОУВО «Российский

Государственный Университет Правосудия» по программе «Организация работы районного (городского) суда».

Аргун Б. З. является ветераном Отечественной войны народа Абхазии 1992-1993 гг.

Указом Президента Республики Абхазия от 24 сентября 2018 года, № 270 Аргун Б. З. награжден медалью «За Победу».

Решением Квалификационной коллегии судей Республики Абхазия от 01 декабря 2020 года с 31 октября 2020 года прекращены полномочия судьи Гудаутского районного суда Аргун Б. З.